Primitives usuelles

Chercher une primitive d'une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) revient à se poser la question inverse de la dérivation : « Quelle fonction a pour dérivée \(f\) ? »
Ainsi, le tableau des primitives des fonctions usuelles qui fait l'objet de la propriété suivante se déduit du tableau des dérivées en procédant à une lecture inverse.

Propriété

Dans le tableau suivant, on note \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle \(I\). \(n\) désigne un entier naturel.
\(\begin{array}{|l|l|l|} \hline\textbf{Expression de $f$} & \textbf{Expression d'une primitive $F$ de $f$} & \textbf{Sur l'intervalle $I$} \\ \hline f(x)=0 & F(x)=k \text{ où } k \in \mathbb{R} & \mathbb{R} \\ \hline f(x)=a \quad (a \in \mathbb{R}) & F(x)=ax & \mathbb{R} \\ \hline f(x)=x & F(x)=\dfrac12x^2 & \mathbb{R} \\ \hline f(x)=x^2 & F(x)=\dfrac13x^3 & \mathbb{R} \\ \hline f(x)=x^n \quad (n \in \mathbb{N})& F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1} & \mathbb{R} \\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x^2} & F(x)=-\dfrac{1}{x} & ]-\infty\,;0[ \text{ ou } ]0\,;+\infty[ \\ \hline f(t)=\cos(t) & F(t)=\sin(t) & \mathbb{R} \\ \hline f(t)=\sin(t) & F(t)=-\cos(t) & \mathbb{R} \\ \hline f(t)=\cos(\omega t + \varphi) \quad (\omega \in \mathbb{R}, \varphi \in \mathbb{R}) & F(t)=\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t + \varphi) & \mathbb{R} \\ \hline f(t)=\sin(\omega t + \varphi) \quad (\omega \in \mathbb{R}, \varphi \in \mathbb{R}) & F(t)=-\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t + \varphi) & \mathbb{R} \\ \hline \end{array}\)

Exemples 

• Une primitive de \(x \mapsto 2\) sur \(\mathbb R\) est \(x \mapsto 2x\).
  
• Une primitive de \(x \mapsto x^\color{red}{3}\) sur \(\mathbb R\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{\color{red}{3}+1}x^{\color{red}{3}+1}\), soit \(x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}\).
• Une primitive de \(x \mapsto x^\color{red}{4}\) sur \(\mathbb R\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{\color{red}{4}+1}x^{\color{red}{4}+1}\), soit \(x \mapsto \dfrac{1}{5}x^{5}\).
• Une primitive de \(x \mapsto x^{\color{red}{2~025}}\) sur \(\mathbb R\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{\color{red}{2~025}+1}x^{\color{red}{2~025}+1}\), soit \(x \mapsto \dfrac{1}{2~026}x^{2~026}\).
  
• Une primitive de \(t \mapsto \color{green}{\cos}\left(\color{red}{2}\,t-\dfrac{\pi}{3}\right)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{\color{red}{2}}\color{green}{\sin}\left(2t-\dfrac{\pi}{3}\right)\).
  
• Une primitive de \(x \mapsto \color{green}{\sin}\left(\color{red}{\dfrac12}t-\dfrac{\pi}{4}\right)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x \mapsto \color{green}{-}\dfrac{1}{\color{red}{\frac12}}\color{green}{\cos}\left(\dfrac12t-\dfrac{\pi}{4}\right)\), soit \(x \mapsto-2\cos\left(\dfrac12t-\dfrac{\pi}{4}\right)\).